2020萍鄉(xiāng)學(xué)院專升本《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

一、考試內(nèi)容及分?jǐn)?shù)分布

第一章  極限（約15%）

考試內(nèi)容：函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)?；境醯群瘮?shù)的性質(zhì)及其圖形；數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義、性質(zhì)，函數(shù)的左、右極限；無窮小無窮大及無窮小的比較；極限的四則運(yùn)算，極限存在的兩個準(zhǔn)則，單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)及兩個重要極限。

函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理和介值定理）。

考試要求:

1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法。

2．了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3．理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5．會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。

6．理解極限的概念，理解函數(shù)左、右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

7．掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

8．掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

9．理解無窮小、無窮大以及無窮小的階的概念，會用等價無窮小求極限。

10．理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

11．了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

第二章  一元函數(shù)微分學(xué)（約20%）

考試內(nèi)容:導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義。函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。平面曲線的切線和法線，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù)的概念，一階微分形式的不變性，微分在近似計算中的應(yīng)用。

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西(CAUCHY)中值定理、泰勒定理；洛必達(dá)法則；函數(shù)的極值及其求法，函數(shù)增減性和函數(shù)圖形的凹凸性的判定。函數(shù)最大值和最小值的求法。

考試要求:

1．理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性。

3．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

4．會求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

5．會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

6．理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。

7．了解并會用柯西中值定理。

8．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。

9．掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。

第三章  一元函數(shù)積分學(xué)（約20%）

考試內(nèi)容:原函數(shù)和不定積分的概念、不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式、定積分的概念和性質(zhì)、定積分中值定理、變上限定積分及其導(dǎo)數(shù)牛頓一萊布尼茨公式、不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法、簡單有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單元理函數(shù)的積分、廣義積分的概念及其計算，定積分的應(yīng)用。

考試要求:

1．理解原函數(shù)概念，理解不定積分和定積分的概念，理解定積分中值定理。

2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及換元積分法與分部積分法。

3．會求簡單有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單元理函數(shù)的積分。

4．理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓一萊布尼茨公式。

5．了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。

6．掌握用定積分表達(dá)和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力及函數(shù)的平均值等）。

第四章  二元函數(shù)微分學(xué)（約15%）

考試內(nèi)容:空間解析幾何：向量的概念，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積和向量積的概念及運(yùn)算，兩向量垂直和平行的條件、兩向量的夾角、向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位、向量方向數(shù)與方向余弦曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程及其求法 平面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離，球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形。

多元函數(shù)微分學(xué)：多元函數(shù)的概念、極限、連續(xù)；復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法、二階偏導(dǎo)數(shù)；多元函數(shù)極值和條件極值的概念、二元函數(shù)極值的充分條件、極值的求法、多元函數(shù)的最值及其簡單應(yīng)用。

考試要求:

1. 理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。

2．掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積），了解兩個向量垂直、平行的條件。

3．掌握平面方程和直線方程及其求法，會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。

4．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。

5．理解多元函數(shù)的概念。

6．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

7．理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，以及全微分在近似計算中的應(yīng)用。

8．掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

9．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。

第五章 多元函數(shù)積分學(xué)（約10%）

考試內(nèi)容:二重積分的計算和應(yīng)用，二重積分的性質(zhì)

考試要求:

1．理解二重積分概念，了解重積分的性質(zhì)、二重積分的中值定理。

2．掌握二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）的計算方法。

3．會用重積分，求一些幾何量與物理量。

第六章  無窮級數(shù)（約10%）

考試內(nèi)容：常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念、級數(shù)的基本性質(zhì)、正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法；交錯級數(shù)的萊布尼茨定理；絕對收斂與條件收斂；函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）、冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)、簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法、初等函數(shù)的泰勒展式、麥克勞林（Maclaurin）展式。

考試要求：

1．理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2．會用正項級數(shù)的比較審斂法和根值審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審斂法。　

3．會用交錯級數(shù)的萊布尼茨定理。

4．了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。

5. 了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

6．了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)問內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。

7．掌握一些函數(shù)的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

第七章  常微分方程（約10%）

考試內(nèi)容：常微分方程的基本概念、微分方程的解、通解、初始條件和特解，變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理、二階常系數(shù)齊次線性微分方程、簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、微分方程的簡單應(yīng)用問題。

考試要求：

1．了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念。

2．掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法及齊次方程解法。

3．理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

4．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。

5．會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。

二、教材：《高等數(shù)學(xué)》（上），高等教育出版社，劉鵬林主編；

參考書：《高等數(shù)學(xué)》（上、下），北京師范大學(xué)出版社，彭友花等編。

三、考試題型及比例

填空題：20%；

選擇題：20％；

解答題（包括證明題）：60％。

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