2020年云南省專升本《高等代數》考試大綱

一、考試內容概述

《高等代數》是數學與應用數學的重要的基礎內容，其主要內容是一元多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣、向量空間 (亦稱線性空間)、線性變換、歐氏空間、二次型等方面的基本概念、基本知識和一些數學的基本思想方法。要求考生理解和掌握映射、數域、帶余除法、最大公因式的性質、不可約多項式的定義及性質、重因式、多項式的有理根等相關知識；會應用行列式的性質計算行列式，掌握行列式的一些基本計算方法；理解線性方程組解的相關理論并掌握求解方法及解的表示；掌握矩陣理論并能靈活應用；理解向量空間和歐氏空間的一些基本概念并掌握相關知識的計算方法且能靈活應用；理解和掌握線性變換與矩陣的聯(lián)系、矩陣相似、線性變換在不同基下的矩陣、矩陣的特征值、特征向量及子空間、正交矩陣等相關知識；掌握正定二次型的等價條件及二次型的標準形并會判定。要求考生具備邏輯推理、抽象思維與綜合分析問題的能力。能運用高等代數中的基本知識、基本理論進行推理和論證?？忌€應熟練掌握高等代數中常用的計算方法，掌握基本運算中的技能、技巧，提高綜合計算和解決問題的能力。

二、考試形式

滿分：150分(單科成績)?？荚嚂r間：120分鐘。

三、試題難易程度分布

較易試題約占50％

中等試題約占30％

較難試題約占20％

四、內容比例

基本概念約占3％

一元多項式約占12％

行列式約占16％

線性方程組約占10％

矩陣約占16％

向量空間與歐式空間約占23％

線性變換約占13％

二次型約占7％

五、參考教材

1．北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，王萼芳、石生明修訂：《高等代數》，高等教育出版社2003年7月第三版。

2．張和瑞、郝炳新編：《高等代數》，高等教育出版社2007年6月第五版。

六、考試內容及要求

(一)基本概念

考試內容：

1．映射。

映射的定義，滿射、單射與雙射，映射的相等，映射的合成，逆映射。

2．數域。

數域的定義，最小的數域。

考試要求：

1．熟記映射、滿射、單射、雙射的定義，理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。能根據定義判定所給的法則是否為映射，為何種映射。理解映射的相等與映射的合成概念。

2．會正確判定所給的數集是否為數域。

(二)一元多項式

考試內容：

1．一元多項式的概念、運算及整除性。

一元多項式的定義，一元多項式的項、首項、常數項、系數、次數，零多項式，零次多項式，多項式的相等，多項式的加、減、乘的運算法則，多項式整除的定義，整除的基本性質，帶余除法定理。

2．多項式的最大公因式。

因式、公因式、最大公因式的定義，輾轉相除法，多項式互素的判別方法，多項式互素的性質。

3．多項式的因式分解。

不可約多項式的性質，因式分解存在唯一性定理，多項式的典型分解式。

4．多項式的重因式與根。

多項式有無重因式的判定，多項式的值與根(丘重根、單根、重根)，余式定理，綜合除法。

5．復數域、實數域、有理數域上的多項式。

代數基本定理，復數域上多項式的典型分解式，實數域上多項式的典型分解式，有理數域上多項式的可約性，艾森斯坦因判別法，有理數域上多項式的有理根，整系數多項式的有理根。

考試要求：

1．理解一元多項式的基本概念，注意零多項式與零次多項式的區(qū)別。

熟記整除的定義，掌握整除的基本性質并會運用這些性質證明有關的基本問題。熟練掌握帶余除法的方法，會用帶余除法解決有關的基本問題。

2．掌握多項式的最大公因式的定義，熟練應用輾轉相除法求最大公因式。

理解多項式互素的概念及性質，初步掌握運用互素的定義及性質證明有關問題的基本方法。

3．掌握不可約多項式的定義及性質。

正確理解多項式因式分解存在唯一性定理，了解典型分解式的形式及其意義。

4．正確理解重因式的概念，熟練掌握有無重因式的判定方法。

記住多項式值與根的定義及余式定理。

5．理解代數基本定理。

掌握復數域、實數域上多項式的典型分解式的特征。

熟練掌握有理系數多項式有理根的求法。

(三)行列式

考試內容：

1．排列。

排列的定義，排列的反序數，排列的奇偶性。

2．n階行列式。

n階行列式的定義，行列式的項及項的符號，子式與代數余子式的概念，行列式的性質，行列式的依行依列展開，范德蒙行列式。

3．克萊姆法則。

考試要求：

1．理解排列的有關概念，會計算排列的反序數，確定排列的奇偶性。

2．深刻理解n階行列式的定義并能利用定義計算行列式。

熟練掌握行列式的性質，能正確地依行依列展開行列式，并能靈活運用行列式的性質和展開定理計算行列式。

(四)線性方程組

考試內容：

1．矩陣的初等變換與矩陣的秩。

行(列)階梯形矩陣，矩陣的k階子式矩陣的秩，矩陣的初等變換，矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，用初等變換求矩陣的秩，用初等變換化矩陣為階梯形，線性方程組的系數矩陣與增廣矩陣，用初等變換解線性方程組。

2．齊次線性方程組。

齊次線性方程組的定義，齊次線性方程組的零解與非零解，齊次線性方程組有非零解的條件，齊次線性方程組的基礎解系的定義、存在條件及求法。

3．一般線性方程組有解的判別方法及解的求法。

一般線性方程組可解的判別定理，唯一解的條件，無窮多解的條件，一般線性方程組求解的方法及解的結構。

七、考核目標

1．理解矩陣的尼階子式、矩陣的秩與矩陣初等變換的定義。熟練運用矩陣的初等變換求矩陣的秩和解線性方程組。

2．準確判定所給的齊次線性方程組有無非零解。在有非零解時，能熟練地求出齊次線性方程組的基礎解系。

3．牢固掌握一般線性方程組可解的判別定理和線性方程組有唯一解及無窮多解的條件，會用導出齊次線性方程組的基礎解系表示一般線性方程組的全部解。

(五)矩陣

考試內容：

1．矩陣的運算及運算律。

矩陣可加的條件與加法法則，矩陣可乘的條件與乘法法則，數與矩陣的乘法法則，方陣的冪，矩陣運算的運算律。

2．初等矩陣。

初等矩陣的性質，初等矩陣與初等變換的聯(lián)系。

3．矩陣的逆。

可逆矩陣與逆矩陣的定義，可逆矩陣的性質，可逆矩陣的判定，逆矩陣的求法。

4．矩陣乘積的行列式與矩陣乘積的秩。

考試要求：

1．熟練掌握矩陣各種運算的法則及運算規(guī)律

2．記住初等矩陣的定義、性質及其與初等變換的關系。

3．理解可逆矩陣的定義、性質，掌握矩陣可逆的判定法則，能熟練運用公式法：，及初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣。

(六)向量空間與歐式空間

考試內容：

1．向量空間及向量的線性相關性。

向量空間的定義，向量空間的性質，向量的線性組合，向量的線性表示，向量的線性相關與線性無關，向量組的等價，極大線性無關組，向量組的秩。

2．基、維數與坐標。

向量空間的基的定義，基的性質，基的求法，向量空間的維數，維數的求法，向量的坐標，坐標的求法，基的過渡矩陣，過渡矩陣的性質，過渡矩陣的求法，基變換公式，坐標變換公式。

3．子空間。

子空間的定義，子空間的判別定理，子空間的交與和，生成子空間，子空間的基與維數，維數公式。

4．歐氏空間。

內積與歐氏空間的定義內積的性質，向量的長度，向量的夾角，柯西不等式，向量的正交，正交向量組，標準正交基，標準正交化方法

考試要求：

1．熟記向量空間的定義、性質，深刻理解向量線性相關性的一系列概念，靈活運用上述概念、性質判斷或證明有關的問題。

2．掌握常見的向量空間的基、維數、坐標及過渡矩陣的求法。

3．理解子空間、交子空間和子空間、生成子空間的概念，掌握子空間的判別方法及維數公式的應用。

4．熟記內積與歐氏空間的有關概念，會計算內積、向量的長度、夾角和標準正交基。

(七)線性變換

考試內容：

1．線性變換及其運算。

線性變換的定義，線性變換的性質，線性變換的和，數與線性變換的乘積，線性變換的合成(線性變換的乘積)，線性變換的方冪，線性變換運算的運算律。

2．線性變換的矩陣。

線性變換的矩陣的定義，線性變換下像向量的坐標，矩陣相似的定義，相似矩陣的性質，線性變換關于不同基的矩陣的相似關系，在一個確定基下線性變換與矩陣間的1—1對應關系，線性變換可逆的條件。

3．線性變換和矩陣的特征值、特征向量。

特征值，特征向量，特征多項式的定義及系數的特征，特征多項式的求法，特征值的求法，特征向量的求法。

4．矩陣的對角化。

矩陣對角化的定義，矩陣可對角化的條件，矩陣對角化的方法。

考試要求：

1．掌握線性變換的定義、性質和基本運算，熟練判斷所給

的變換是否為線性變換。

2．掌握線性變換矩陣的定義、矩陣相似的定義，會運用線

性變換的矩陣計算像的坐標。深刻理解線性變換關于不同基的矩

陣彼此相似。

3．掌握線性變換和矩陣的特征值、特征向量的概念，注意

線性變換的特征值、特征向量與矩陣的特征值、特征向量的聯(lián)系和區(qū)別。熟練掌握特征值、特征向量的求法。

4．理解線性變換與矩陣可對角化的含義，熟練掌握可對角化的條件和對角化的方法。對實對稱矩陣A會求正交矩陣U，使得為對角形。

(八)二次型

考試內容：

1．二次型及其矩陣表示。

二次型的矩陣，二次型的秩，變量的線性變換，變量的非退化線性變換，二次型的等價，矩陣合同的定義及性質，等價二次型的矩陣合同，任一對稱矩陣必與對角矩陣合同。

2．二次型的標準形。

化二次型為平方和的方法，二次型的標準型(系數為±1的平方和形式)，化二次型為標準形的方法，實二次型的正慣性指標、負慣性指標、符號差，復二次型、實二次型標準形的唯一性。

3．正定二次型。

正定二次型的定義，正定矩陣的定義，正定二次型的判定，正定矩陣的判定。

考試要求：

1．理解二次型及矩陣合同的有關概念，明確施行非退化線性變換前后的兩個二次型是等價的，它們的矩陣是合同的。會利用矩陣的初等變換把對稱矩陣化為與之合同的對角矩陣。

2．理解二次型的平方和、標準形及實二次型的慣性指標、符號差的概念，掌握化二次型為平方和及標準形的方法。

3．熟記正定二次型、正定矩陣的定義及性質，掌握正定二次型與正定矩陣的判別方法。