摘要：2019年《高等數(shù)學Ⅱ》考試大綱 第一部分：總要求 考生應(yīng)按本大綱的要求，了解或理解“高等數(shù)學”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的
2019年《高等數(shù)學Ⅱ》考試大綱
第一部分：總要求
考生應(yīng)按本大綱的要求，了解或理解“高等數(shù)學”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識的結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。
第二部分：考試內(nèi)容
一、函數(shù)、極限與連續(xù)
（一）函數(shù)
1．知識范圍
（1）函數(shù)的概念：函數(shù)的定義、函數(shù)的表示法、分段函數(shù)、隱函數(shù)。
（2）函數(shù)的簡單性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性。
（3）反函數(shù)：反函數(shù)的定義，反函數(shù)的圖象。
（4）函數(shù)的四則運算與復合運算。
（5）基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。
（6）初等函數(shù)
2. 要求
（1）理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值。了解分段函數(shù)的概念。
（2）理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。
（3）了解函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系（定義域、值域、圖象），會求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。
（4）理解和掌握函數(shù)的四則運算與復合運算。
（5）掌握基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)及其圖象。
（6）了解初等函數(shù)的概念。
（7）會建立簡單實際問題的函數(shù)關(guān)系。
（二）極限
1．知識范圍
（1）數(shù)列極限的概念：數(shù)列，數(shù)列的極限。
（2）數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調(diào)有界數(shù)列的極限存在定理。
（3）函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關(guān)系，x趨于無窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時函數(shù)的極限。
（4）函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。
（5）無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關(guān)系，無窮小量與無窮大量的性質(zhì)，兩個無窮小量階的比較。
（6）兩個重要極限。
2．要求
（1）了解極限的概念，能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。
（2）熟練掌握用極限的四則運算法則求極限的方法，理解極限的有關(guān)性質(zhì)。
（3）了解無窮小量、無窮大量的概念，了解無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。了解無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等階）。
（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
（三）連續(xù)
1．知識范圍
（1）函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，函數(shù)的間斷點。
（2）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的四則運算，復合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性。
（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理）。
2．要求
（1）理解函數(shù)在一點連續(xù)與間斷的概念，會判斷簡單函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點連續(xù)與極限存在的關(guān)系。
（2）會求函數(shù)的間斷點（含分段函數(shù)）。
（3）理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會運用介值定理（包括零點定理）推證一些簡單命題。
（4）了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性。會利用連續(xù)性求極限。
二、一元函數(shù)微分學
（一）導數(shù)與微分
1．知識范圍
（1）導數(shù)概念：導數(shù)的定義、導數(shù)的幾何意義、可導與連續(xù)的關(guān)系。
（2）求導法則與導數(shù)的基本公式：導數(shù)的四則運算、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。
（3）求導方法：復合函數(shù)的求導法、隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法。
（4）高階導數(shù)的概念：高階導數(shù)的定義，高階導數(shù)的計算。
（5）微分：微分的定義，微分與導數(shù)的關(guān)系，微分法則，一階微分形式不變性。
2．要求
（1）理解導數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關(guān)系。掌握用定義求函數(shù)在一點處導數(shù)的方法。
（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
（3）熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復合函數(shù)求導法則。會求反函數(shù)的導數(shù)。
（4）掌握隱函數(shù)求導法、對數(shù)求導法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法，會求分段函數(shù)的導數(shù)。
（5）了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)。
（6）理解函數(shù)的微分概念，了解可微與可導的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微分。
（二）微分中值定理及導數(shù)的應(yīng)用
1．知識范圍
（1）中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（）中值定理。
（2）洛必達（L’Hospital）法則。
（3）函數(shù)增減性的判定法。
（4）函數(shù)極值與極值點，最大值與最小值。
（5）曲線的凹凸性、拐點。
（6）曲線的漸近線。
（7）簡單的函數(shù)圖形
2．要求
（1）理解解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義，會用拉格朗日中值定理證明某些簡單的不等式或恒等式。了解柯西中值定理。
（2）熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的極限方法。
（3）掌握利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。
（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（?。┲档姆椒?，并且會解簡單的應(yīng)用問題。
（5）會用導數(shù)判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。
（6）會求曲線的漸近線。
（7）會作出簡單的函數(shù)圖形。
三、一元函數(shù)積分學
（一）不定積分
1．知識范圍
（1）不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義，原函數(shù)存在定理，不定積分的性質(zhì)。
（2）基本初等函數(shù)的積分公式。
（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法），第二換元法
（4）分部積分法。
（5）一些簡單有理函數(shù)的積分。
2．要求
（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。
（2）掌握基本初等函數(shù)的不定積分公式。
（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）。
（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。
（5）會求簡單有理函數(shù)的不定積分。
（二）定積分
1．知識范圍
（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義。
（2）定積分的性質(zhì)。
（3）定積分的計算：變上限的定積分，牛頓一萊布尼茨（Newton - Leibniz）公式，換元積分法，分部積分法。
（4）廣義積分的概念。
（5）定積分在幾何上的應(yīng)用：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積。
2．要求
（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解函數(shù)可積的條件。
（2）掌握定積分的基本性質(zhì)，
（3）理解變上限的定積分的含義，掌握對變上限定積分求導數(shù)的方法。
（4）熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。
（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
（6）理解廣義積分，根據(jù)定義會求一些簡單的廣義積分。
（7）理解用元素法將實際問題表達成定積分的分析方法。
（8）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積的計算方法。
四、多元函數(shù)微積分學
（一）多元函數(shù)微分學
1．知識范圍
（1）空間直角坐標系
（2）多元函數(shù)
多元函數(shù)的定義、二元函數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念
（3）偏導數(shù)與全微分
偏導數(shù)、全微分、二階偏導數(shù)
（4）復合函數(shù)的偏導數(shù)
（5）隱函數(shù)的偏導數(shù)
（6）二元函數(shù)的無條件極值與條件極值
2．要求
（1）了解空間直角坐標系的概念，會求空間兩點間的距離。
（2）了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義、會求二元函數(shù)的表達式與定義域。了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。
（3）理解偏導數(shù)的概念，了解偏導數(shù)的幾何意義，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。
（4）掌握二元函數(shù)的一、二階偏導數(shù)的計算方法。
（5）掌握復合函數(shù)一、二階偏導數(shù)的求法。
（6）會求多元函數(shù)的全微分。
（7）掌握由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導數(shù)的計算方法。
（8）會求多元函數(shù)的無條件極值，會用拉格朗日數(shù)乘法求多元函數(shù)的條件極值。
（二）二重積分
1．知識范圍
（1）二重積分的概念
二重積分的定義、二重積分的幾何意義
（2）二重積分的性質(zhì)
（3）二重積分的計算
（4）二重積分的應(yīng)用
2．要求
（1）了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，理解二重積分的幾何意義。
（2）掌握二重積分的計算方法（直角坐標）。能夠根據(jù)積分域和被積函數(shù)的特點選擇積分次序，能正確地定出二次積分的積分限。
五、無窮級數(shù)
（一）數(shù)項級數(shù)
1．知識范圍
（1）數(shù)項級數(shù)
數(shù)項級數(shù)的概念、級數(shù)的收斂與發(fā)散、級數(shù)的基本性質(zhì)、級數(shù)收斂的必要條件
（2）正項級數(shù)收斂性的判別法
比較判別法、比值判別法、
（3）任意項級數(shù)
交錯級數(shù)、絕對收斂、條件收斂、萊布尼茨判別法
2．要求
（1）理解級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念。
（2）掌握級數(shù)的基本性質(zhì)和級數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)和P—級數(shù)的收斂性，掌握正項級數(shù)的比較判別法和比值判別法，了解級數(shù)的根式判別法。
（3）掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及它們之間的關(guān)系。
（二）冪級數(shù)
1．知識范圍
（1）冪級數(shù)的概念
收斂半徑、收斂區(qū)間
（2）冪級數(shù)的基本性質(zhì)
（3）將簡單的初等函數(shù)展開成冪級數(shù)
2．要求
（1）了解冪級數(shù)的概念。
（2）掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法。
（3）了解冪級數(shù)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性，逐項微分和逐項積分）。
（4）掌握幾個常用初等函數(shù)的麥克勞林展開式，并會利用這些展開式將一些簡單函數(shù)間接展開成冪函數(shù)。
六、常微分方程
一階微分方程
1.知識范圍
（1）微分方程的概念
微分方程的定義、階、解、通解、初始條件和特解
（2）可分離變量的微分方程
（3）一階線性微分方程
2.要求
（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解
（2）掌握可分離變量的微分方程的解法。
（3）掌握一階線性微分方程解法。
第三部分：參考教材
1. 《微積分》 趙樹嫄 主編，中國人民大學出版社
2. 《微積分》 馬軍 許成鋒 主編，北京理工大學出版社
