西南交通大學(xué)希望學(xué)院2020年專升本《高等數(shù)學(xué)》考試大綱（工程類）

總要求

考生應(yīng)理解或了解《高等數(shù)學(xué)》中函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、—元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)，無窮級(jí)數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論：掌握上述各部分的基本方法．應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力：能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高，對(duì)概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次：對(duì)方法和運(yùn)算分為“會(huì)”、“掌握”和“熟練掌握”三個(gè)層次。

考試用時(shí)，120分鐘

考試范圍及要求

一、函數(shù)、極限和連續(xù)

（一）函數(shù)

1．理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會(huì)作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像。會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式。

2．理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性，會(huì)判斷所給函數(shù)的類別。

3．了解函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系（定義域、值域、圖象），會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。

4．理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。

5．掌握基本初等函數(shù)及其簡(jiǎn)單性質(zhì)、圖象。

6．了解初等函數(shù)的概念及其性質(zhì)。

（二）極限

1．理解極限的概念，會(huì)求數(shù)列極限及函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限、右極限和極限，掌握數(shù)列極限存在性定理，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。

2．了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則（包括數(shù)列極限與函數(shù)極限）。

3．熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

4．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量與無窮大量的關(guān)系，會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。

（三）連續(xù)

1．理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，會(huì)判斷簡(jiǎn)單函數(shù)（含分段函數(shù)）的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系。

2．會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型。

3．掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用零點(diǎn)定理證明方程根的存在性。

4．理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會(huì)運(yùn)用連續(xù)性求極限。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

（一）導(dǎo)數(shù)與微分

1．理解導(dǎo)數(shù)的概念，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，會(huì)用定義判斷函數(shù)的可導(dǎo)性。

2．會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。

3．熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

4．掌握隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)使用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5．理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

6．理解函數(shù)的微分概念及微分的幾何意義，掌握微分運(yùn)算法則及一階微分形式的不變性，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的微分。

（二）中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1．理解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會(huì)用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式。

2．熟練掌握用洛必達(dá)法則求“”、“”“”、“”、“”、“”和“”型等未定式的極限。

3．掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的增減性證明簡(jiǎn)單的不等式。

4．理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（?。┲档姆椒?，并且會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。

5．會(huì)判定曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。

6．會(huì)求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。

7．會(huì)作出簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形。

三、一元函數(shù)積分學(xué)

（一）不定積分

1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。

2．熟練掌握基本的積分公式。

3．熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。

4．熟練掌握不足積分的分部積分法。

5．會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單無理函數(shù)的不定積分。

（二）定積分

1．理解定積分的概念與兒何意義，了解函數(shù)可積的條件。

2．掌握定積分的基本性質(zhì)。

3．理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

4．熟練掌握牛頓一萊布尼茨公式。

5．掌握定積分的換元積分法與分部積分法。并會(huì)證明一些簡(jiǎn)單的積分恒等式。

6．理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

7．掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及乎面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積。

四、向量代數(shù)與空間解析幾何

（一）向量代數(shù)

1．理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法，會(huì)求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。

2．掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積以及二向量的向量積的計(jì)算方法。

3．掌握二向量平行、垂直的條件。

（二）平面與直線

1．會(huì)求平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程。會(huì)判定兩平面的垂直、平行。

2．會(huì)求點(diǎn)到平面的距離。

3．了解直線的一般式方程，會(huì)求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程。會(huì)判定兩直線平行、垂直。

4．會(huì)判定直線與平面間的關(guān)系（垂直、平行、直線在平面上）。

（三）簡(jiǎn)單的二次曲面

了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、圓錐面、橢球面、拋物面、和雙曲面的方程及其圖形。

五、多元函數(shù)微積分學(xué)

（一）多元函數(shù)微分學(xué)

1．了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極限與連續(xù)概念（對(duì)計(jì)算

不作要求）。會(huì)求二元函數(shù)的定義域。

2．理解偏導(dǎo)數(shù)概念，了解全微分概念，掌握全微分存在的必要條件與充分條件。

3．掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法。

4．掌握復(fù)合函數(shù)一、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法（含抽象函數(shù)）。

5．會(huì)求二元函數(shù)的全微分（含抽象函數(shù)）。

6．掌握由方程F（x，y，z）=0所確定的隱函數(shù)z=z（x，y）的一、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

7．會(huì)求空間曲線的切線和法平面方程，會(huì)求空間曲面的切平面和法線方程。

8．會(huì)求二：二元函數(shù)的無條件極值。會(huì)應(yīng)用lagrange乘數(shù)法求解一些最大值最小值問題。

（二）二重積分

1．理解二重積分的概念及其性質(zhì)。

2．掌握二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法與交換積分的次序。

3．會(huì)用二重積分解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題（限于空間封閉曲面所同成的有界區(qū)域的體積、平面薄板質(zhì)量）。

六、無窮級(jí)數(shù)

（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1．理解級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。

2．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法、比值判別法和根值判別法。

3．掌握幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)與-級(jí)數(shù)的斂散性。

4．會(huì)使用萊布尼茨判別法。

5．理解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，掌握判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的方法。

（二）冪級(jí)數(shù)

1．了解冪級(jí)數(shù)的概念。

2．掌握冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分的性質(zhì)與方法。

3．掌握求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（不要求討論端點(diǎn)）的方法。

4．會(huì)運(yùn)用，，，，的麥克勞林（Maclaurin）展開式，將一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開為或的冪級(jí)數(shù)。

七、常微分方程

（一）一階微分方程

1．理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

2．掌握可分離變量方程的解法。

3．掌握一階線性微分方程的解法。

（二）二階線性微分方程

1．了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

2．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

參考教材：

《高等數(shù)學(xué)》上、下冊(cè)    同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編   高等教育出版社

《應(yīng)用數(shù)學(xué)》   主編：趙威 潘峰   航空工業(yè)出版社

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